Critérios de divisibilidade, divisores primos e números compostos - 6º ano

a) DIVISIBILIDADE POR 2

Para ser divisível por 2, um número precisa ser par.

EXERCÍCIOS: 

1) Quais desses números são divisíveis por 2 ?

a) 43
b) 58
c) 62
d) 93
e) 106
f) 688
g) 981
h) 1000
i) 3214
j) 6847
k) 14649
l) 211116
m) 240377
n) 800001
o) 647731350

b) Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

Exemplos
a) 267 é divisível por 3 porque a soma:
2 + 6 + 7 = 15 é divisível por 3.

b) 2538 é divisível por 3, porque a soma:
2 + 5 + 3 + 8 = 18 é divisível por 3.

c) 1342 não é divisível por 3, porque a soma:
1 + 3 + 4 + 2 = 10 não é divisível por 3

EXERCÍCIOS:

2) Quais desses números são divisíveis por 3?

a) 72
b) 83
c) 58
d) 96
e) 123
f) 431
g) 583
h) 609
i) 1111
j) 1375
k) 1272
l) 4932
m) 251463
n) 1040511
o) 8000240
p) 7112610

c) Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos forem zero ou formarem um número divisível por 4.

Exemplos:

a) 500 é divisível por 4 porque seus dois últimos algarismos são zero
b) 732 é divisível por 4 porque o número 32 é divisível por 4
c) 813 não é divisível por 4 porque 13 não é divisível por 4

EXERCÍCIOS:

3) Quais desses números são divisíveis por 4?

a) 200
b) 323
c) 832
d) 918
e) 1020
f) 3725
g) 4636
h) 7812
i) 19012
j) 24714
k) 31433
l) 58347
m) 1520648
n) 3408549
o) 5331122
p) 2000008

d) Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

Exemplos

a) 780 é divisível por 5 porque termina em 0.
b) 935 é divisível por 5 porque termina em 5.
c) 418 não é divisível por 5 porque não termina em 0 ou 5.

Exercícios:

4) Quais desses números são divisíveis por 5?

a) 83
b) 45
c) 678
d) 840
e) 1720
f) 1089
g) 2643
h) 4735
i) 2643
j) 8310
k) 7642
l) 12315
m) 471185
n) 648933
o) 400040
p) 3821665

e) Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 por 3.

Exemplos

a) 312 é divisível por 6 porque é divisível por 2 e por 3.
b) 724 não é divisível por 6 pois é divisível por 2, mas não é por 3.

Exercícios:

5) Quais destes números são divisíveis por 6?

a) 126
b) 452
c) 831
d) 942
e) 1236
f) 3450
g) 2674
h) 7116
i) 10008
j) 12144
k) 12600
l) 51040
m) 521125
n) 110250
o) 469101
p) 4000002

f) Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.

Exemplos:

a) 2538 é divisível por 9 porque a soma
2 + 5 + 3 + 8 = 18 é divisível por 9

b) 7562 não é divisível por 9 porque a soma
7 + 5 + 6 + 2 = 20 não é divisível por 9

Exercícios:

6) Quais desses números são divisíveis por 9?

a) 504
b) 720
c) 428
d) 818
e) 3169
f) 8856
g) 4444
h) 9108
i) 29133
j) 36199
k) 72618
l) 98793
m) 591218
n) 903402
o) 174150
p) 2000601

g) Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

Exemplos

a) 1870 é divisível por 10 porque termina em zero
b) 5384 não é divisível por 10 porque não termina em zero.

Exercícios:

7) Quais destes números são divisíveis por 10?

a) 482
b) 520
c) 655
d) 880
e) 1670
f) 1829
g) 3687
h) 8730
i) 41110
j) 29490
k) 3604
l) 34002
m) 78146
n) 643280
o) 128456
p) 890005
q) 492370

RESUMO

Um número é divisível por:

* 2 quando termina em 0,2,4,6 ou 8 isto é quando é par

* 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

* 4 quando os dois últimos algarismos forem 0 ou formarem um número divisível por 4

* 5 quando termina em 0 ou 5

* 6 quando é divisível por 2 e por 3

* 9 Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9

* 10 quando termina em 0
EXERCÍCIOS

8) Qual número é divisível por 4 e 9?
a) 1278
b) 5819
c) 5336
d) 2556

9) Qual número é divisível por 2,3 e 5 ao mesmo tempo?
a) 160
b) 180
c) 225
d) 230

NÚMEROS PRIMOS

Os números que admitem apenas dois divisores (ele próprio e 1 ) são chamados de números primos.

Exemplos:

a) 2 é um número primo, pois D2 = { 1,2}
b) 3 é um número primo, pois D3 = { 1,3}
c) 5 é um número primo, pois D5 = { 1,5}
d) 7 é um número primo, pois D7 = { 1,7}
e) 11 é um número primo, pois D11 = { 1, 11}

O conjunto dos números primos é infinito

P = { 2,3,5,7,11,13,17,19,....}

Como reconhecer se um número é primo?

O matemático e astrônomo grego Eratóstenes (206a.c) inventou um método que permite obter os números primos naturais, maiores 1. Esse método é conhecido,hoje como crivo de Eratóstenes.

Dispomos os números numa tabela e eliminamos os números que não são primos :
inicialmente eliminamos o 1, que não é primo.

2 é primo,mas os outros múltiplos de 2 não são primos e devem ser eliminados.
3 é primo ,mas os outros múltiplos de 3 não são primos por isso devem ser eliminados .
seguindo-se o mesmo raciocínio para 5, 7 e 11 eliminamos os múltiplos de cada um deles.

Modo prático de reconhecer se um numero é primo

* O número é par:

O único número par que é primo é o 2 os outros não são primos.

* O número é ímpar:

Dado um número ímpar, verificamos se esse número é primo dividindo-o, sucessivamente pelos números primos (3,5,7,11,17...) , até o quociente seja menor ou igual ao divisor.
Exemplo:

Verificar se o número 43 é primo:

43: 3 = 14 resto 1 (14 é maior que 3)
43 : 5 = 8 resto 3 ( 8 é maior que 5)
43 : 7 = 6 resto 1 ( 6 é menor que 7)
- nenhuma das divisões é exata
- o quociente 6 é menor que o divisor 7
- logo 43 é primo


Exercícios:

1) O número 127 é primo?

2) O número 143 é primo?

3) O número 5124 é primo?

4) O número 161 é primo?

5) Verifique e assinale quais dos números abaixo são primos:
     a) 2168
     b) 61
     c) 315
     d) 203
     e) 103
     f) 427
     g) 1111
     h) 2001

6) Verifique se o número 31 é primo;

7) Verifique se o número 97 é primo;

8) Verifique se o número 91 é primo;

NÚMEROS COMPOSTOS

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos

EXEMPLOS:

a) 4 é um número composto, pois D4 = { 1,2,4}
b) 6 é um número composto, pois D6 = { 1,2,3,6}
c) 8 é um número composto, pois D8 = { 1,2,4,8}

EXERCÍCIOS:

1) Classifique cada número como "primo ou composto"

a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
f) 25
g) 26
h) 27 

i) 28
j) 29


DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS

Um número composto pode ser indicado como um produto de fatores primos, ou melhor, é um número que pode ser fatorado.

Exemplo

140 I 2
070 I 2
035 I 5
007 I 7
001
Procedimentos

Escrevemos o número à esquerda de uma barra vertical.
Dividimos o número (140) pelo menor número primo possível. Neste caso, é o 2 .
Voltamos a dividir o quociente, que é 70 , pelo menor número primo possível, sendo novamente 2
O processo é repetindo até que o quociente seja 1

Outros exemplos:
a) decompor em fatores primos o número 72:
72 I 2
36 I 2
18 I 2
09 I 3
03 I 3
01

b) Decompor em fatores primos o número 525:
525 I 3
175 I 5
035 I 5
007 I 7
001
EXERCÍCIOS:

1) Decomponha em fatores primos os seguintes números:
a) 28
b) 30
c) 32
d) 36
e) 40
f) 45
g) 60
h) 80
i) 120
j)125
k) 243
l) 135
m) 250

2) Decomponha em fatores primos os seguintes números:

a) 180
b) 220
c) 320
d) 308
e) 605
f) 616
g) 1008
h) 1210
i) 2058
j) 3125
k) 365
l) 4225
m) 5040